Question

如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=CD，∠C=60°，DH⊥BC于点H，点E是BC上一点，连接AE，将△AB

如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=CD，∠C=60°，DH⊥BC于点H，点E是BC上一点，连接AE，将△ABE沿AE翻折，点B落在点F处，射线EF交CD所在直线于点M（1）若点M在CD边上时，求证：FM-DM=CH；（2）如图2，若点M在CD边得延长线上时，FM、DM、CH三条线段有怎样得数量关系？说明理由．

Answer 1

解答：（1）证明：过点A作AG⊥CD，交CD的延长线于点G，连接AM，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠DAC
∴∠ACB=∠ACD，
∴AG=AB
∵AB=AF，
∴AG=AF
又∵AM=AM，
在Rt△AMG和Rt△AMF中，

AF＝AG AM＝AM

∴Rt△AMG≌Rt△AMF（HL），
∴FM=GM，
∴FM一DM=GD，
在Rt△AGD和Rt△DHC中，AD=DC，AG=DH，由勾股定理得：DG=CH，
∴FM-DM=CH；

（2）FM+DM=CH，
理由是：过点A作AG⊥CD，交CD的延长线于点G，连接AM，AC，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠DAC
∴∠ACB=∠ACD，
∴AG=AB
∵AB=AF，
∴AG=AF，
又∵AM=AM，
在Rt△AMG和Rt△AMF中，

AF＝AG AM＝AM

∴Rt△AMG≌Rt△AMF（HL），
∴FM=GM，
∴FM+DM=GD，
在Rt△AGD和Rt△DHC中，AD=DC，AG=DH，由勾股定理得：DG=CH，
∴FM+DM=CH．