Question

已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=an+an+12，n∈N*．（1）令bn=an+1-an，证明：{bn}是等比数列；（2）求

已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=an+an+12，n∈N*．（1）令bn=an+1-an，证明：{bn}是等比数列；（2）求{an}的通项公式．

Answer 1

（1）证b₁=a₂-a₁=1，
当n≥2时，bn＝an+1?an＝

an?1+an

2

?an＝?

1

2

(an?an?1)＝?

1

2

bn?1，
所以{b_n}是以1为首项，?

1

2

为公比的等比数列．
（2）解由（1）知bn＝an+1?an＝(?

1

2

)n?1，
当n≥2时，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）++（a_n-a_n-1）=1+1+（-

1

2

）+…+(?

1

2

)n?2
=1+

1?(? 1 2 )n?1

1?(? 1 2 )

=1+

2

3

[1?(?

1

2

)n?2]=

5

3

?

2

3

(?

1

2

)n?1，
当n=1时，

5

3

?

2

3

(?

1

2

)1?1＝1＝a1．
所以an＝

5

3

?

2

3

(?

1

2

)n?1(n∈N*)．