Question

椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两个焦点F1（-c，0）、F2（c，0），M是椭圆C上一点，且满足∠F1MF2=π3．

椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两个焦点F1（-c，0）、F2（c，0），M是椭圆C上一点，且满足∠F1MF2=π3．（1）求椭圆的离心率e的取值范围；（2）设O为坐标原点，P是椭圆C上的一个动点，试求t=|PF1-PF2||OP|的取值范围．

Answer 1

（1）在△MF₁F₂中，MF₁²+MF₂²-2MF₁?MF₂cos∠F₁MF₂=4c²
即：（MF₁+MF₂）²-3MF₁?MF₂=4c²
即：4a²-3MF₁?MF₂=4c²，则3MF₁?MF₂=4a²-4c²MF1?MF2≤(

MF1+MF2

2

)2=a2，当且仅当MF₁=MF₂=a时，取等号
∴4a²-4c²≤3a²，即a²≤4c²
∴e2≥

1

4

即e∈[

1

2

，1)（5分）
（2）令OP=m，则m∈[b，a]（10分）
又PF₁+PF₂=2a
在三角形O与三角形O中分别用余弦定理表示出PF₁²与PF₂²两式相加可得：PF₁²+PF₂²=2m²+2c²
则（PF₁-PF₂）²=4（m²+c²-a²）
∴t=

2 m2+c2-a2

m

=2

1- a2-c2 m2

∵m∈[b，a]，∴

a2-c2

a2

≤

a2-c2

m2

≤

a2-c2

b2

即0≤1-

a2-c2

m2

≤

c2

a2

，
∴t的取值范围是0≤t≤

2c

a

．     （16分）