Question

如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F分别是棱AA',BB'的中点，求A'F与D'E所成角的余弦值。

Answer 1

取CC‘中点G，连结D'G、FG和EG
因为在正方形BCC'B'中，点F、G分别是BB'、CC'的中点
所以有：FG//B'C'，FG=B'C'
又A'D'//B'C'，A'D'=B'C'
那么：FG//A'D'，FG=A'D'
所以四边形A'D'GF是平行四边形
所以：A'F//D'G
则可知∠ED'G就是A'F与D'E所成角（或其补角）
令正方体棱长为a，那么易得：D'E=D'G=(√5)a/2，EG=A'C'=√2*a
所以在△D'EG中，由余弦定理得：
cos∠ED'G=(D'E²+D'G²-EG²)/(2*D'E*D'G)
=(5a²/4 +5a²/4 - 2a²)/[2*(√5)a/2 *(√5)a/2]
=(a²/4)/(5a²/2)
=1/10
即A'F与D'E所成角的余弦值为1/10

追问

参考答案里面貌似是五分之一 = =

追答

抱歉！算错了，更正：
cos∠ED'G=(D'E²+D'G²-EG²)/(2*D'E*D'G)
=(5a²/4 +5a²/4 - 2a²)/[2*(√5)a/2 *(√5)a/2]
=(a²/2)/(5a²/2)
=1/5
即A'F与D'E所成角的余弦值为1/5

Answer 2

作图，连结FC'，A'C',A'F
∵E,F分别是棱AA',BB'的中点
则有EC'‖且=FC'
求A‘F与D'E所成角的余弦值
则求∠A'FC'的余弦值
其中设正方体边长为1
AF'=FC'=根号（1*1+1/2*1/2)=（根号5）/2
A'C'=根号2
接着利用余弦定理即可求得COSA'FC'
这一部分就LZ自己计算吧。
PS:sqr就是开平方

Answer 3

作图，连结FC'，A'C',A'F
∵E,F分别是棱AA',BB'的中点
则有EC'‖且=FC'
求A‘F与D'E所成角的余弦值
则求∠A'FC'的余弦值
其中设正方体边长为1
AF'=FC'=根号（1*1+1/2*1/2)=（根号5）/2
A'C'=根号2
接着利用余弦定理即可求得COSA'FC'
这一部分就LZ自己计算吧。
PS:sqr就是开平方