Question

用极限的定义证明

Answer 1

（1）证明lim(x->3)[(x^2+1)/(x-1)]=5
证明：首先限定│x-3│<1，则1<x-1<3,0<x-2<2。
对任意的ε>0，解不等式
│(x^2+1)/(x-1)-5│=│(x-2)(x-3)/(x-1)│<2│x-3│<ε
得│x-3│<ε/2，取正数A≤min{1,ε/2}
于是，对任意的ε>0，总存在正数A≤min{1,ε/2}，当0<│x-3│<A时，有│(x^2+1)/(x-1)-5│<ε
即 lim(x->3)[(x^2+1)/(x-1)]=5成立，证毕。
（2）证明lim(n->∞)[(3n^2+2n)/(n^2-1)]=3
证明：首先限定n>2，则n-1>1。
对任意的ε>0，解不等式
│(3n^2+2n)/(n^2-1)-3│=4/((n+1)(n-1))<4/n<ε
得n>4/ε，取正整数N≥max[2,4/ε]
于是，对任意的ε>0，总存在正整数N≥max[2,4/ε]，当n>N时，有│(3n^2+2n)/(n^2-1)-3│<ε
即 lim(n->∞)[(3n^2+2n)/(n^2-1)]=3成立，证毕。