Question

如图，AB是○O的直径，玹CD⊥AB与H,过CD延长线上一点E做圆O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD

于K。（1）求证：KE=GE（2）若KE²=KD×GE,试判断AC于EF的位置关系，并说明理由
（3）在（2）的条件下，若sinE=五分之三，AK=二根号五，求FG的长

Answer 1

1, GO=OA ∠OAG=∠OGA

∠HKA=90-∠OAG  ∠KGE=90-∠OGA

∠HKA=∠KGE  ∠GKE=∠HKA

∠KGE=∠GKE KE=GE

2,条件有问题，KE^2=KD*GE  KE=GE, 则KE=KD,很明显错误。

  应该是KG^2=KD*GE

KG^2=KD*GE  KG/KD=GE/GK ∠GKD=∠EGK 

△GKD∽△EGK  ∠DGK=∠E  ∠DGK=∠ACK

∠ACK=∠E  AC//EF

3, sinE=3/5 AK=2√5  

 AC//EF ∠CAK=∠KGE ∠CKA=∠GKD=∠KGE

  ∠CKA=∠CAK CA=CK  sinE=3/5 cosE=4/5

cos(ACK)=4/5 

AK^2=AC^2+KC^2-2AC*KC*cos(ACK)

20=2AC^2-8AC^2/5

AC^2=50  AC=5√2 

∠CBH=∠ACK  sin(CBH)=3/5

AB=AC/sin(CBH)=25√2/3

GO=AB/2=25√2/6  ∠GOF=∠E tanE=3/4   tan(GOF)=3/4

FG=GO*tan(GOF)=25√2/6*3/4=25√2/8