Question

求1到300的整数中 能被3或5或7整除的数的个数

求1到300的整数中 能被3或5或7整除的数的个数

Answer 1

首先先说一下容斥原理：
A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C

此处，可将
A表示为能被3整除的数，也就是3的倍数；
B表示为能被5整除的数，也就是5的倍数；
C表示为能被7整除的数，也就是7的倍数；
A∩B表示为能同时被3、5整除的数，也就是15的倍数；
A∩C表示为能同时被3、7整除的数，也就是21的倍数；
B∩C表示为能同时被5、7整除的数，也就是35的倍数；
A∩B∩C表示为能同时被3、5、7整除的数，也就是105的倍数；

于是A∪B∪C表示能被3或5或7整除的数。

你的问题中，1~300描述不清楚，包含300吗？
下面我就将300包含进去。

下面说一下高斯取整符号[]，[x]表示不超过x的最大整数。
容易计算得知，
A=[300÷3]=100个
B=[300÷5]=60个
C=[300÷7]=42个
A∩B=[300÷15]=20个
A∩C=[300÷21]=14个
B∩C=[300÷35]=8个
A∩B∩C=[300÷105]=2个
于是，
A∪B∪C
=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C
=100+60+42-20-14-8+2
=162个。

也就是说，假若从1到300，包含300的话，
被3或5或7整除的数有162个。
不包含300的话，
被3或5或7整除的数有161个。（舍去300这个数）

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