Question

如图，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=2，BC= 2 ，E是PC的中点．（Ⅰ）证明：PA

如图，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=2，BC= 2 ，E是PC的中点．（Ⅰ）证明：PA ∥ 平面EDB；（Ⅱ）求异面直线AD与BE所成角的大小．

Answer 1

证明：（Ⅰ）连接AC，设AC∩BD=O，连接EO， ∵四边形ABCD为矩形，∴O为AC的中点． ∴OE为△PAC的中位线． ∴PA ∥ OE，而OE?平面EDB，PA?平面EBD， ∴PA ∥ 平面EDB．…（6分） （Ⅱ）∵AD ∥ BC，∴∠CBE就是异面直线AD与BE所成的角或补角．…（8分） ∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴BC⊥PD． 又四边形ABCD为矩形，∴BC⊥DC．又因为PD∩DC=D， 所以BC⊥平面PDC． 在Rt△BCE中BC= 2 ，EC═ 1 2 PC= 2 ，∴ ∠CBE= π 4 ． 即异面直线AD 与BE所成角大小为 π 4 ．                    …（12分）