Question

如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点

如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D. （1）当∠BQD＝30°时，求AP的长；（2）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由.

Answer 1

（1）2  （2）不会改变，理由见解析

解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵∠BQD＝30°， ∴∠QPC＝90°， 设AP＝x，则PC＝6－x，QB＝x， ∴QC＝QB＋BC＝6＋x， ∵在Rt△QCP中，∠BQD＝30°， ∴PC＝ QC，即6－x＝ （6＋x），解得x＝2； （2）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变.理由如下： 作QF⊥AB，交AB的延长线于点F，连接QE，PF， 又∵PE⊥AB于E， ∴∠DFQ＝∠AEP＝90°， ∵点P、Q做匀速运动且速度相同， ∴AP＝BQ， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠FBQ＝60°， ∴在△APE和△BQF中， ∵∠A＝∠FBQ，∠AEP＝∠BFQ＝90°， ∴∠APE＝∠BQF， ∴ ∴△APE≌△BQF， ∴AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF， ∴四边形PEQF是平行四边形， ∴DE＝ EF， ∵EB＋AE＝BE＋BF＝AB， ∴DE＝ AB， 又∵等边△ABC的边长为6， ∴DE＝3， ∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变.