Question

（本小题满分14分）根据如图所示的程序框图，将输出的 x 、 y 值依次分别记为 ； 。（Ⅰ）求数列 的通

（本小题满分14分）根据如图所示的程序框图，将输出的 x 、 y 值依次分别记为 ； 。（Ⅰ）求数列 的通项公式 ；（Ⅱ）写出 y 1 ， y 2 ， y 3 ， y 4 ，由此猜想出数列{ y n }的一个通项公式 y n ，并证明你的结论；（Ⅲ）求 。

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Answer 1

（Ⅰ） （Ⅱ）猜想 ，证明见解析。 （Ⅲ）

（Ⅰ）由框图，知数列   ……2分 ∴       ……4分 （Ⅱ） y 1 =2， y 2 =8， y 3 =26， y 4 =80.由此，猜想  …2分 证明：由框图，知数列{ y n }中， y n +1 =3 y n +2   ∴ ∴                      ……4分 ∴数列{ y n +1}是以3为首项，3为公比的等比数列。∴ +1=3·3 n － 1 =3 n ∴ =3 n －1（ ）         ……6分 （Ⅲ） = = 记 S n =1×3+3×3 2 +…+（2 n －1）·3 n ，① 则3 S n =1×3 2 +3×3 3 +…+（2 n －1）×3 n +1  ②            ……2分 ①－②，得－2 S n =3+2·3 2 +2·3 3 +…+2·3 n －（2 n －1）·3 n +1 =2（3+3 2 +…+3 n ）－3－（2 n －1）·3 n +1 =2× = ∴  ……3分 又1+3+…+（2 n －1）= n 2   ∴ .……4分