Question

已知数列{a n }满足：a 1 =1，a 2 =a（a＞0），数列{b n }满足b n =a n a n+1 （n∈N*）（Ⅰ）若{a n }

已知数列{a n }满足：a 1 =1，a 2 =a（a＞0），数列{b n }满足b n =a n a n+1 （n∈N*）（Ⅰ）若{a n }是等差数列，且b 3 =12，求数列{a n }的通项公式．（Ⅱ）若{a n }是等比数列，求数列{b n }的前n项和S n ．（Ⅲ）若{b n }是公比为a﹣1的等比数列时，{a n }能否为等比数列？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵{a n }是等差数列a 1 =1，a 2 =a，b n =a n a n+1 ，b 3 =12 ∴b 3 =a 3 a 4 =（a 1 +2d）（（a 1 +3d）=（1+2d）（1+3d）=12 即d=1或d= 又因a=a 1 +d=1+d＞0得d＞﹣1 ∴d=1 ∴a n =n （Ⅱ）{a n }是等比数列，首项a 1 =1，a 2 =a， 故公比 ， 所以a n =a n﹣1 ， 代入{b n }的表达式得b n =a n a n+1 =a 2n﹣1 ，可得 ∴数列{b n }是以a为首项，公比为 a 2 的等比数列 故Sn= （Ⅲ）{a n }不能为等比数列，理由如下： ∵b n =a n a n+1 ，{b n }是公比为a﹣1的等比数列 ∴ ∴a 3 =a﹣1 假设{a n }为等比数列，由a 1 =1，a 2 =a得 a 3 =a 2 ， 所以a 2 =a﹣1 因此此方程无解， 所以数列一定不能等比数列．