Question

已知函数f（x）=ax2-3x+2+2lnx（a＞0）（1）当a=-1时，求函数f（x）的单调区间，并指出在每个单调区间上

已知函数f（x）=ax2-3x+2+2lnx（a＞0）（1）当a=-1时，求函数f（x）的单调区间，并指出在每个单调区间上是增函数还是减函数；（2）求实数a的取值范围，使对任意的x∈[1，+∞），恒有f（x）≥0成立．

Answer 1

（1）a=-1时，f（x）=-x²-3x+2+2lnx，f′（x）=-2x-3+

2

x

=

?2x2?3x+2

x

；
令f′（x）=0得x=-2，或

1

2

；
∵x＞0，∴0＜x＜

1

2

，时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在(0，

1

2

)上单调递增，(0，

1

2

)是它的单调增区间；
x＞

1

2

时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在[

1

2

，+∞)上单调递减，[

1

2

，+∞)是它的单调减区间；
（2）由题意得，f（1）=a-1≥0，∴a≥1；
f′（x）=

2ax2?3x+2

x

，x＞0，对于二次函数2ax²-3x+2，△=9-16a＜0；
∴2ax²-3x+2＞0恒成立，即f′（x）＞0在[1，+∞）上恒成立；
∴f（x）在[1，+∞）上递增，所以a≥1时，f（x）≥f（1）=a-1≥0恒成立；
∴实数a的取值范围是[1，+∞）．