Question

已知圆C(x-3)^2+(Y-4)^2=4和点A(-1.0)B(1.0),点P（x，y）在圆C上任意一点，求|AP|^2+|BP|^2的最小值

Answer 1

方法一：用到一个结论：平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和（坐标法，向量法，余弦定理均可证明）
把平行四边形切去一半，剩下三角形和中线，由上面的结论可得，|AP|^2+|BP|^2＝(4PO^2+AB^2)/2，其中o为坐标原点。故，要想所求平方和最小，只需PO最小（AB=2为已知）
显然OPC共线时PO最小,其中C为圆心。
PO的最小值＝|OC|-2=3
故|AP|^2+|BP|^2的最小值＝(36+4)/2=20

方法二（和方法一殊途同归）
设P点坐标为（x，y），则|AP|^2+|BP|^2=(x+1)^2+y^2+(x-1)^2+y^2=2(x^2+y^2)+2=2PO^2+2
要想上式最小，只需PO最小，显然OPC共线时PO最小,其中C为圆心。
PO的最小值＝|OC|-2=3
故|AP|^2+|BP|^2的最小值=20

Answer 2

解
可设动点P(3+cost, 4+sint), t∈R
由两点间距离公式可得:
W=|PA|²+|PB|²
=(4+cost)²+(4+sint)²+(2+cost)²+(4+sint)²
=16+16+4+16+1+1+8cost+8sint+4cost+8sint
=54+12cost+16sint
=54+20sin[t+w]
∴原式max=74
原式min=34
PO的最小值＝|OC|-2=3
所以|AP|^2+|BP|^2的最小值＝(36+4)/2=20
因该是这样 错了别怪我 打了好久的