Question

（2012?德化县一模）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠A．（1）求证：CD为⊙O

（2012?德化县一模）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠A．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若CD=4，⊙O的半径为3，求BD的值．

Answer 1

（1）证明：连接OC，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
又∵∠BCD=∠A，
∴∠OCB+∠BCD=90°，
∴∠OCD=90°，即OC⊥CD
又∵点C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线．

（2）解：∵∠BCD=∠A，∠D=∠D，
∴△BCD∽△CAD，
∴

CD

DA

＝

BD

DC

，即CD²=AD?BD
又∵CD=4，AO=OB=3，
∴16=（BD+6）BD，
解得：BD=2．