Question

设函数f(x)=|3x-1|+ax+3。若函数f(x)有最小值，求实数a的取值范围

Answer 1

x>1/3时该函数为f(x)=(3+a)x+2，x<1/3时为f(x)=(a-3)x+4，如果a不等于3或-3，则这两个函数都为一次函数，而单纯的一次函数是没有最小值点的，因此如果存在最小值，必然在x=1/3处取到，且当x<1/3时，函数单调递减，x>1/3时，函数单调递增，因此有a+3>0，a-3<0，即-3<a<3，另当a=3时，x<1/3时函数值恒为4，而x>1/3时函数值恒大于4，因此可以认为也存在最小值，因此实数a的取值范围为-3<a<=3。