Question

（1999?海淀区）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，O是AB上的一点，以O为圆心，以OB为半径作圆，交AC于E、F

（1999?海淀区）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，O是AB上的一点，以O为圆心，以OB为半径作圆，交AC于E、F，交AB于D．若E是DF的中点，且AE：EF=3：1，FC=4，求∠CBF的正弦值及BC的长．

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Answer 1

解：解法一：连接OE，DF；
∵E是

DF

的中点，BD是⊙O的直径，
∴OE⊥DF，∠DFB=90°，
∴OE∥BF，（1分）
∴AE：EF=AO：OB，AE：AF=OE：BF；
∵AE：EF=3：1，
∴AO：OB=3：1，AE=3EF，OE：BF=3：4；
设OB=r，则AO=3r，BF=

4

3

r，（2分）
∴AD=2r；
∵AE?AF=AD?AB，
∴3EF?4EF=2r?4r，
∴EF=

6

3

r；（3分）
∵∠ABC=90°，DB是⊙O的直径，
∴BC是⊙O的切线，
∴BC²=CF?CE=4（4+EF）；
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
BC²=AC²-AB²=（4EF+4）²-（4r）²，
∴4（4+EF）=（4EF+4）²-（4r）²；（6分）
即4（4+

6

3

r）=（4×

6

3

r+4）²-（4r）²；
∴r=

7 6

4

，（7分）
∴BC=

30

；（8分）
∵∠CBF=∠BDF，sin∠BDF=

FB

DB

=

2

3

，
∴sin∠CBF=

2

3

．（9分）
（说明：只求出?CBF的正弦值给4分）

解法二：
连接DE、OE、EB；
由解法一，有BF=

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