Question

已知函数f（x）=ax2?2x?1 x≥0x2+bx+c x＜0为偶函数，直线y=x+m与函数y=f（x）的图象有四个不同的交点

已知函数f（x）=ax2?2x?1 x≥0x2+bx+c x＜0为偶函数，直线y=x+m与函数y=f（x）的图象有四个不同的交点，则实数m的取值范围是______．

Answer 1

∵f（x）是偶函数，
∴f（-x）=f（x），
若x＜0，则-x＞0，
此时f（-x）=ax²+2x-1=x²+bx+c，
即a=1，b=2，c=-1，
则f（x）=

x2?2x?1，x≥0 x2+2x?1，x＜0

，
作出函数f（x）的图象如图：
平移直线y=x+m，
由图象可知当直线y=x+m经过点（0，-1）时，此时两个函数有3个交点，此时m=-1，
当直线y=x+m在第三象限与y=x²+2x-1相切时，此时两个函数也只有3个交点，
由y′=2x+2=1，解得x=?

1

2

，此时y=（?

1

2

）²+2（?

1

2

）-1=?

7

4

，
即切点坐标为（?

1

2

，?

7

4

），此时m=?

7

4

-（?

1

2

）=-

5

4

，
∴要使两个函数有4个不同的交点，则m∈(?

5

4

，?1)，
故答案为：(?

5

4

，?1)