Question

已知：如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F．求证：（1）FD2=FB?

已知：如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F．求证：（1）FD2=FB?FC；（2）AB2：AC2=BF：CF．

Answer 1

证明：（1）连结AF，
∵AD的垂直平分线交AD于E，
∴AF=DF，
∴∠1+∠2=∠4，
∵∠B+∠3=∠4，
∠2=∠3，
∴∠B=∠1，
∵∠AFB=∠CFA，
∴△ACF∽△BAF，
∴

AF

BF

=

CF

AF

，
∴AF²=FB?FC，
即FD²=FB?FC．

（2）∵△ACF∽△BAF，
∴

AB

AC

=

AF

CF

，

AB

AC

=

BF

AF

，
即

AB2

AC2

=

BF

CF

．