Question

已知函数f（x）=ax-1-lnx（a∈R）（Ⅰ）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；（Ⅱ）当x＞y＞e-1时，

已知函数f（x）=ax-1-lnx（a∈R）（Ⅰ）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；（Ⅱ）当x＞y＞e-1时，求证：ex-y＞ln(x+1)ln(y+1)．

Answer 1

（I）解：∵f（x）=ax-1-lnx，
∴f′（x）=

ax?1

x

，
当a≤0时，f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
函数f（x）在（0，+∞）单调递减，∴f（x）在（0，+∞）上没有极值点；
当a＞0时，f'（x）＜0得0＜x＜

1

a

，f'（x）＞0得x＞

1

a

，
∴f（x）在（0，

1

a

）上递减，在（

1

a

，+∞）上递增，即f（x）在x=

1

a

处有极小值．
∴当a≤0时f（x）在（0，+∞）上没有极值点，
当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上有一个极值点．------------（5分）
（注：分类讨论少一个扣一分．）
（II）证明：e^x-y＞

ln(x+1)

ln(y+1)

，即证

ex

ln(x+1)

＞

ey

ln(y+1)

，
令g（x）=

ex

ln(x+1)

，
则只要证明g（x）在（e-1，+∞）上单调递增，------------（7分）
又∵g′（x）=

ex[ln(x+1)? 1 x+1 ]

ln2(x+1)

，
显然函数h（x）=ln（x+1）-

1

x+1

在（e-1，+∞）上单调递增．
∴h（x）＞1-

1

e

＞0，即g'（x）＞0，
∴g（x）在（e-1，+∞）上单调递增，即

ex

ln(x+1)

＞

ey

ln(y+1)

，
∴当x＞y＞e-1时，有e^x-y＞

ln(x+1)

ln(y+1)

．------------（12分）