已知函数f（x）=ax-1x+b-（a+1）lnx，（a，b∈R），g(x)＝?2ex+e2．（Ⅰ）若函数f（x）在x=2处取得极小值
已知函数f（x）=ax-1x+b-（a+1）lnx，（a，b∈R），g(x)＝?2ex+e2．（Ⅰ）若函数f（x）在x=2处取得极小值0，求a，b的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条...
已知函数f（x）=ax-1x+b-（a+1）lnx，（a，b∈R），g(x)＝?2ex+e2．（Ⅰ）若函数f（x）在x=2处取得极小值0，求a，b的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：对任意x1，x2∈[e，e2]，总有f（x1）＞g（x2）；（Ⅲ）求函数f（x）的单调递增区间．
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（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)＝a+
?
由题意得
，
∴a＝
，b=
ln2?
．
经检验符合题意．
（Ⅱ）f′(x)＝
+
?
＝
＝
，当x∈[e，e2]时，f'（x）＞0，
所以f（x）在[e，e2]上单调递增，所以f(x)min＝f(e)＝
?
+
ln2?2，
g′(x)＝?
，当x∈[e，e2]时，g'（x）＜0，g（x）在[e，e2]上单调递减，所以 g(x)max＝g(e)＝
?2．
因为f(x)min?g(x)max＝
ln2?
＞0，
所以对任意x1，x2∈[e，e2]，总有f（x1）＞g（x2）．
（Ⅲ）f′(x)＝
| 1 |
| x2 |
| a+1 |
| x |
由题意得
|
∴a＝
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
经检验符合题意．
（Ⅱ）f′(x)＝
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| x2 |
| 3 |
| 2x |
| x2?3x+2 |
| 2x2 |
| (x?2)(x?1) |
| 2x2 |
所以f（x）在[e，e2]上单调递增，所以f(x)min＝f(e)＝
| e |
| 2 |
| 1 |
| e |
| 3 |
| 2 |
g′(x)＝?
| 2 |
| e |
| e |
| 2 |
因为f(x)min?g(x)max＝
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| e |
所以对任意x1，x2∈[e，e2]，总有f（x1）＞g（x2）．
（Ⅲ）f′(x)＝
ax
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