Question

设函数z=z（x，y）由方程F（xzy，yzx）=0所确定，其中f有一阶连续偏导数，求x?z?x+y?z?y

设函数z=z（x，y）由方程F（xzy，yzx）=0所确定，其中f有一阶连续偏导数，求x?z?x+y?z?y．

Answer 1

设u＝

xz

y

，v＝

yz

x

，则f（u，v）=0
∴两边对x和对y求偏导，得
F′uu′x+F′vv′x＝F′u(

z

y

+

x

y

?z

?x

)+F′v(?

yz

x2

+

y

x

?z

?x

)＝0
解得：

?z

?x

＝(

yz

x2

F′v?

z

y

F′u)/(

x

y

F′u+

y

x

F′v)
F′uu′y+F′vv′y＝F′u(?

xz

y2

+

x

y

?z

?y

)+F′v(?

z

x

+

y

x

?z

?y

)＝0
解得：

?z

?y

＝(

xz

y2

F′u?

z

y

F′v)/(

x

y

F′u+

y

x

F′v)
所以x

?z

?x

+y

?z

?y

＝(

yz

x

F′v?

xz

y

F′u+

xz

y

F′u?

yz

x

F′v)/(

x

y

F′u+

y

x

F′v)=0