Question

对于任意随机变量X，Y，若D（X+Y）=D（X）+D（Y），则（　　）A．X与Y一定相互独立B．X与Y一定不相关C．X

对于任意随机变量X，Y，若D（X+Y）=D（X）+D（Y），则（　　）A．X与Y一定相互独立B．X与Y一定不相关C．X与Y一定不独立D．以上结论都不对

Answer 1

答案选B。X与Y一定不相关。

由于D（X+Y）=D（X）+D（Y）+2Cov（X，Y）

而Cov（X，Y）=E[（X-E（X））（Y-E（Y））]=E（XY）-EXEY

如果D（x+y）=D（x）+D（y），我们就能得到协方差Cov（X，Y）=0

如果X与Y是相互独立的，那么二者之间的协方差就是0。

如果X与Y的协方差为0，二者并不一定是相互独立的。

X与Y的协方差为0时，只能说明X和Y不相关。

扩展资料：

不相关指的是不线性相关，即Cov（X，Y）=E（XY）-EXEY=0 或者说 EXY=EXEY。 

一般来说，概率和统计中不加说明的使用不相关都是指线性相关系数为0。

随机变量uncorrelated的定义就是协方差为0。

在统计中，独立只出现在假设中，样本本身是不能用来讨论独立性的，度量样本相关性的量很多，除了Pearson的线性相关系数，还有Kendall’s tau，Spearman‘s rho。

独立就是两个随机变量相互独立，等价于f（x，y）=g（x）h（y），即联合密度函数等于两个边缘密度的乘积。对于离散的随机变量会稍有不同，Pr（X=x，Y=y）=Pr（X=x）Pr（Y=y） for all x and y。

随机变量的不相关 和 独立 在定义上就是不等价的。

独立是不相关的充分不必要条件，即独立可以推出不相关，反之不行。

Answer 2

由于D（X+Y）=D（X）+D（Y）+2Cov（X，Y），
而Cov（X，Y）=E[（X-E（X））（Y-E（Y））]=E（XY）-EXEY，
如果D（x+y）=D（x）+D（y），我们就能得到协方差Cov（X，Y）=0；
如果X与Y是相互独立的，那么二者之间的协方差就是0．
但是，反过来并不成立，即如果X与Y的协方差为0，二者并不一定是相互独立的．
X与Y的协方差为0时，只能说明X和Y不相关，即没有线性关系，但并不一定相互独立
所以结论是X与Y不相关
故选：B