Question

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝14x2?6与直线y＝12x相交于A，B两点．（1）求线段AB的长；（2）若一

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝14x2?6与直线y＝12x相交于A，B两点．（1）求线段AB的长；（2）若一个扇形的周长等于（1）中线段AB的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大，最大面积是多少；（3）如图2，线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于C，D两点，垂足为点M，分别求出OM，OC，OD的长，并验证等式1OC2+1OD2＝1OM2是否成立；（4）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，设BC=a，AC=b，AB=c．CD=b，试说明：1a2+1b2＝1h2．

Answer 1

解答：解：（1）在平面直角坐标系中，抛物线y＝

1

4

x2?6与直线y＝

1

2

x相交于A，B两点．
∴A（-4，-2），B（6，3）
如图1，分别过A、B两点作AE⊥x轴，BF⊥x轴，垂足分别为E、F，
∴AB=OA+OB=

42+22

+

62+32

=5

5

（2）设扇形的半径为x，则弧长为(5

5

?2x)，扇形的面积为y
则y＝

1

2

x(5

5

?2x)=?x2+

5

2

5

x=?(x?

5 5

4

)2+

125

16

∵a=-1＜0
∴当x＝

5 5

4

时，函数有最大值y_最大=

125

16

（3）如图2，过点A作AE⊥x轴，垂足为点E．
∵CD垂直平分AB，点M为垂足
∴OM＝

1

2

AB?OA＝

5 5

2

?2

5

＝

5

2

∵∠AEO=∠OMC，∠EOA=∠COM
∴△AEO∽△CMO
∴

OE

OM

＝

AO

CO

∴

4

5 2

＝

2 5

CO

∴CO＝

5

2

?2

5

?

1

4

＝

5

4

同理可得OD＝

5

2

∴

1

OC2

+

1

OD2

＝(

4

5

)2+(

2

5

)2＝

20

25

＝

4

5

∴

1

OM2

＝

4

5

∴