Question

高数啦。。。。求微积分方程的通解。

能看见的两题。。。。第一题叫微积分方程，第二题叫微分方程。。。。不是说y`等同于dy/dx吗？？？
还有求通解，通解。。。。。。。。。。。。。。。。。

Answer 1

1。求微分方程(1+x²)y'=arctanx的通解
解：(1+x²)(dy/dx)=arctanx，分离变量得：
dy=[(arctanx)/(1+x²)]dx
积分之，即得通解为：y=∫[(arctanx)/(1+x²)]dx=∫(arctanx)d(arctanx)=(1/2)(arctanx)²+C
2。求微分方程dy/dx-2y/(x+1)=(x+1)^(3/2)的通解。
解：先求齐次方程dy/dx-2y/(x+1)=0的通解：
dy/dx=2y/(x+1)；分离变量得dy/y=2dx/(x+1)；
积分之得lny=2ln(x+1)+lnC₁=ln[C₁(x+1)²]；
故得y=C₁(x+1)²；
将C₁换成x的函数u，得y=u(x+1)²............(1)；
将(1)得两边对x取导数得：dy/dx=2u(x+1)+(x+1)²(du/dx)............(2)；
将(1)和(2)代入原方程得：
2u(x+1)+(x+1)²(du/dx)-2u(x+1)=(x+1)^(3/2)
化简得(x+1)²(du/dx)=(x+1)^(3/2)
化简并分离变量得du=dx/√(1+x)；积分之得u=∫dx/√(x+1)=∫d(x+1)/√(x+1)=2√(x+1)+C...........(3)
将(3)代入(1)式即得通解为：y=[2√(x+1)+C](x+1)²=2(x+1)^(5/2)+C(x+1)².
【所谓“微积分方程”在只有微分的情况下就是微分方程，只有积分的情况下叫积分方程；又有
微分，又有积分时才叫微积分方程。你这两个方程里，只有微分，故都是微分方程。】

追问

第一题不是叫微积分方程吗？

追答

微积分方程是微分方程，积分方程的总称、俗称，你不必去细究这些词儿。