高数啦。。。。求微积分方程的通解。
能看见的两题。。。。第一题叫微积分方程,第二题叫微分方程。。。。不是说y`等同于dy/dx吗???还有求通解,通解。。。。。。。。。。。。。。。。。...
能看见的两题。。。。第一题叫微积分方程,第二题叫微分方程。。。。不是说y`等同于dy/dx吗???
还有求通解,通解。。。。。。。。。。。。。。。。。 展开
还有求通解,通解。。。。。。。。。。。。。。。。。 展开
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1。求微分方程(1+x²)y'=arctanx的通解
解:(1+x²)(dy/dx)=arctanx,分离变量得:
dy=[(arctanx)/(1+x²)]dx
积分之,即得通解为:y=∫[(arctanx)/(1+x²)]dx=∫(arctanx)d(arctanx)=(1/2)(arctanx)²+C
2。求微分方程dy/dx-2y/(x+1)=(x+1)^(3/2)的通解。
解:先求齐次方程dy/dx-2y/(x+1)=0的通解:
dy/dx=2y/(x+1);分离变量得dy/y=2dx/(x+1);
积分之得lny=2ln(x+1)+lnC₁=ln[C₁(x+1)²];
故得y=C₁(x+1)²;
将C₁换成x的函数u,得y=u(x+1)²............(1);
将(1)得两边对x取导数得:dy/dx=2u(x+1)+(x+1)²(du/dx)............(2);
将(1)和(2)代入原方程得:
2u(x+1)+(x+1)²(du/dx)-2u(x+1)=(x+1)^(3/2)
化简得(x+1)²(du/dx)=(x+1)^(3/2)
化简并分离变量得du=dx/√(1+x);积分之得u=∫dx/√(x+1)=∫d(x+1)/√(x+1)=2√(x+1)+C...........(3)
将(3)代入(1)式即得通解为:y=[2√(x+1)+C](x+1)²=2(x+1)^(5/2)+C(x+1)².
【所谓“微积分方程”在只有微分的情况下就是微分方程,只有积分的情况下叫积分方程;又有
微分,又有积分时才叫微积分方程。你这两个方程里,只有微分,故都是微分方程。】
解:(1+x²)(dy/dx)=arctanx,分离变量得:
dy=[(arctanx)/(1+x²)]dx
积分之,即得通解为:y=∫[(arctanx)/(1+x²)]dx=∫(arctanx)d(arctanx)=(1/2)(arctanx)²+C
2。求微分方程dy/dx-2y/(x+1)=(x+1)^(3/2)的通解。
解:先求齐次方程dy/dx-2y/(x+1)=0的通解:
dy/dx=2y/(x+1);分离变量得dy/y=2dx/(x+1);
积分之得lny=2ln(x+1)+lnC₁=ln[C₁(x+1)²];
故得y=C₁(x+1)²;
将C₁换成x的函数u,得y=u(x+1)²............(1);
将(1)得两边对x取导数得:dy/dx=2u(x+1)+(x+1)²(du/dx)............(2);
将(1)和(2)代入原方程得:
2u(x+1)+(x+1)²(du/dx)-2u(x+1)=(x+1)^(3/2)
化简得(x+1)²(du/dx)=(x+1)^(3/2)
化简并分离变量得du=dx/√(1+x);积分之得u=∫dx/√(x+1)=∫d(x+1)/√(x+1)=2√(x+1)+C...........(3)
将(3)代入(1)式即得通解为:y=[2√(x+1)+C](x+1)²=2(x+1)^(5/2)+C(x+1)².
【所谓“微积分方程”在只有微分的情况下就是微分方程,只有积分的情况下叫积分方程;又有
微分,又有积分时才叫微积分方程。你这两个方程里,只有微分,故都是微分方程。】
追问
第一题不是叫微积分方程吗?
追答
微积分方程是微分方程,积分方程的总称、俗称,你不必去细究这些词儿。
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