Question

求微分方程xy'=√(x^2-y^2)+y的通解

微分方程xy'=√(x^2-y^2)+y的通解，我知道是转换成u=y/x型，但是做到arcsinu=lnx+lnc之后就做不下去了，求大神给个详细解答过程
答案是y +√(y² x²)=cx²

Answer 1

这个是一阶伯努力方程
可以直接带公式得到结果
其中p(x)=1/x，q(x)=1
或者用常数变易法自己推。
两边同时除以x可得：y'+y/x=1，
先求其对应的齐次方程y'+y/x=0
通解为y=c/x，
所以原方程的通解形式为y=c(x)/x，
将该式代入原方程中可得：c'(x)=x,所以c(x)=x^2/2+c,
所以原方程通解为y=x/2+c/x

Answer 2

arcsin(y/x)=lnx+C
y/x=sin(lnx+C)
y=xsin(lnx+C)

追问

我做的是错的，答案是y √(y² x²)=cx²,我想要完整的解答过程

追答

x>0时
y'=√(1-(y/x)^2)+y/x
令y/x=u，则y'=u+xu'
所以u+xu'=√(1-u^2)+u
xdu/dx=√(1-u^2)
du/√(1-u^2)=dx/x
两边积分：arcsinu=lnx+C
u=y/x=sin(lnx+C)
y=xsin(lnx+C)
x<0时
y'=-√(1-(y/x)^2)+y/x
类似地，arcsinu=-ln(-x)+C
y=xsin(-ln(-x)+C)
但是这个思路应该没问题啊，验算了是对的啊，反而你给的答案代进去不对。你不要光看答案啊，自己代进去检验一下嘛。。。。。。