为什么e^x的导数还是它本身?根据导数的定义证明。谢谢。

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匿名用户
2015-05-24
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根据定义e^x的导数为:
x0趋近于0时,lim(e^(x+x0)-e^x)/x0=e^xlim(e^x0-1)/x0,
令e^x0-1=t,则当xo趋于零时,t也趋于零.则x0=ln(t+1),
那么lim(e^(x+x0)-e^x)/x0=e^xlim(t/ln(t+1))=e^xlim1/(ln((t+1)^(1/t))
由极限的第一准则lim(t+1)^(1/t)=e当t趋于零时,
所以lim(e^(x+x0)-e^x)/x0=e^xlim(1/(lne))=e^x.
追问
根据你的推导第9,10行,为什么t/ln(t+1)到第10行变成了1/(ln((t+1)^(1/t))?
zhangsonglin_c
高粉答主

2015-05-24 · 醉心答题,欢迎关注
知道大有可为答主
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应按导数定义来求,
△y=f(x+△x)-f(x)
=e^(x+△x)-e^x
dy/dx=lim[△x→0] △y/△x
=lim[△x→0] [e^(x+△x)-e^x]/△x]
=e^x*lim[△x→0]e^(△x)-1]/△x],
令e^(△x)-1=t,
e^(△x)=1+t,
△x=ln(1+t),
lim[△x→0]e^(△x)-1]/△x]=lim[△x→0][t/ln(1+t)]
=lim[△x→0]{1/[ln(1+t)^(1/t)]
=1/lne
=1,
∴dy/dx=e^x*1
=e^x.
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t与厶x有函数关系,厶x一>0等价于t一>0,t一>0,(1十t)^(1/t)一>e,是e极限的一个变换。原来是x一>∞,(1十1/x)^x一>e,令t=1/x即得
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多命剪刀脚
2015-12-22 · 超过10用户采纳过TA的回答
知道答主
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先求函数f(x)=a^x(a>0,a≠1)的导数
f'(x)=lim[f(x+h)-f(x)]/h(h→0)
=lim[a^(x+h)-a^x]/h(h→0)
=a^x lim(a^h-1)/h(h→0)
对lim(a^h-1)/h(h→0)求极限,得lna
∴f'(x)=a^xlna
即(a^x)'=a^xlna
当a=e时,∵ln e=1
∴(e^x)'=e^x
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lu_zhao_long
2015-05-24 · TA获得超过1.3万个赞
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lim [e^(x+△x) - e^x]/△x
=lime^x *[e^△x - 1]/△x
=e^x * lim{[(1+△x)(1/△x)]^△x - 1}/△x 注:当 △x →0 时,e = lim(1+△x)^(1/△x)
=e^x * lim{(1 + △x)^1 - 1}/△x
=e^x * lim (1 + △x - 1)/△x
=e^x * lim △x /△x
=e^x
证毕
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第三行怎么到第四行的?
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幂函数的性质:
(x^a)^b = x^(a*b)
在第三行中,x = 1 + △x,a = (1/△x),b = △x
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机械者乎哉
2020-06-20
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