Question

为什么e^x的导数还是它本身？根据导数的定义证明。谢谢。

Answer 1

根据定义e^x的导数为：
x0趋近于0时,lim(e^(x+x0)-e^x)/x0=e^xlim(e^x0-1)/x0,
令e^x0-1=t,则当xo趋于零时,t也趋于零.则x0＝ln(t+1),
那么lim(e^(x+x0)-e^x)/x0=e^xlim(t/ln(t+1))=e^xlim1/(ln((t+1)^（1/t）)
由极限的第一准则lim（t+1）^（1/t）＝e当t趋于零时,
所以lim(e^(x+x0)-e^x)/x0＝e^xlim（1/(lne)）=e^x.

追问

根据你的推导第9，10行，为什么t/ln(t+1)到第10行变成了1/(ln((t+1)^(1/t))？

Answer 2

应按导数定义来求,
△y=f(x+△x)-f(x)
=e^(x+△x)-e^x
dy/dx=lim[△x→0] △y/△x
=lim[△x→0] [e^(x+△x)-e^x]/△x]
=e^x*lim[△x→0]e^(△x)-1]/△x],
令e^(△x)-1=t,
e^(△x)=1+t,
△x=ln(1+t),
lim[△x→0]e^(△x)-1]/△x]=lim[△x→0][t/ln(1+t)]
=lim[△x→0]{1/[ln(1+t)^(1/t)]
=1/lne
=1,
∴dy/dx=e^x*1
=e^x.

追问

追答

t与厶x有函数关系，厶x一>0等价于t一>0，t一>0，(1十t)^(1/t)一>e，是e极限的一个变换。原来是x一>∞，(1十1/x)^x一>e，令t=1/x即得

追问

不是这个。看我的图。

一个是乘。一个是幂。

追答

你搞错了，一个数乘以对数，是里边的指数：lna²=21na

lna²=ln(axa)=lna十lna=2lna

t/ln(1十t)=1/[(1/t)ln(1十t)]
=1/ln[(1十t)^(1/t)]

Answer 3

先求函数f(x)=a^x（a>0,a≠1）的导数
f'(x)=lim[f(x+h)-f(x)]/h（h→0）
=lim[a^(x+h)-a^x]/h（h→0）
=a^x lim(a^h-1)/h（h→0）
对lim(a^h-1)/h（h→0）求极限,得lna
∴f'(x)=a^xlna
即(a^x)'=a^xlna
当a=e时,∵ln e=1
∴(e^x)'=e^x

Answer 4

lim [e^(x+△x) - e^x]/△x
=lime^x *[e^△x - 1]/△x
=e^x * lim{[(1+△x)(1/△x)]^△x - 1}/△x 注：当 △x →0 时，e = lim(1+△x)^(1/△x)
=e^x * lim{(1 + △x)^1 - 1}/△x
=e^x * lim (1 + △x - 1)/△x
=e^x * lim △x /△x
=e^x
证毕

追问

第三行怎么到第四行的？

追答

幂函数的性质：
(x^a)^b = x^(a*b)
在第三行中，x = 1 + △x，a = (1/△x)，b = △x

追问

我说的是你第三行的[e^△x-1]/△x怎么推导成第四行的{[(1+△x)(1/△x)]^△x-1}/△x？

追答

我的天啦！那是第 二 行到 第 三 行的变换，不是第 三 行到第 四行的变换啊！

看到第三行后面的 “注：” 了没有？那是 e 的定义。把它代入 第 二 行的公式就可以得到了。

Answer 5