Question

【在线等！】高中导数题 请写详细过程，谢谢

已知函数f（x）=alnx+x2 （x>0,a为实常数）
求函数f（x）在[1,e]上的最小值及相应的x值
如果可以，请附图像，谢谢了！

Answer 1

f(x)在区间[1，e]上时为增函数，所以当x最小时，f(x)最小，即x=1时，f(x)=2.
解：（1）
，当[1，e]，2x
+a∈[a+2，a+2e
]．
①若a≥-2，f′（x）在[1，e]上非负（仅当a=-2，x=1时，f′（x）=0，故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]
=f（1）=1．
②若-2e
＜a＜-2，当
时，f′（x）=0；当
时，f′（x）＜0，此时f（x）
是减函数；当
时，f′（x）＞0，此时f（x）是增函数．故
=
．
③若a≤-2e
，f′（x）在[1，e]上非正（仅当a=-2e
，x=e时，f′（x）=0，故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]
=f（e）=a+e
．
综上可知，

（2）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x-lnx）≥x
-2x．
∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x-lnx＞0，
因而

令
，又
，
当x∈[1，e]时，x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx＞0，
从而g′（x）≥0（仅当x=1时取等号），所g（x）在[1，e]上为增函数，
故g（x）的最小值为g（1）=-1，所以a的取值范围是[-1，+∞）．

Answer 2

不用看第一问

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追问

你好，谢谢你！我只是不懂a为什么分为这些，我很想有个图像。。谢谢你哦！

追答

就是由导数的正负判断函数的增减，最后判断函数值大小
举例：
f`(x)=(2x^2+a)/x
∵x∈【1，e】
2x^2>=2
∴答案先讨论a>=-2
这样一来就使函数f(x)单调递增，就有最小值f(1)了
然后依次讨论使函数f(x)有增有减
使函数f(x)单调减
三种情况
图像这种题实在画不出来

Answer 3

f(x)在区间[1，e]上时为增函数，所以当x最小时，f(x)最小，即x=1时，f(x)=2.