Question

已知a>b>c，求证 1/a-b+1/b-c+1/c-a>0.

已知a>b>c，求证 1/a-b+1/b-c+1/c-a>0.

Answer 1

通分后，
分子为bc-ab-c^2+ac+ac-a^2-bc+ab+ab-ac-b^2+bc
=bc-c^2+ac-a^2+ab-b^2
因为0<(1/2)(a-b)^2+(1/2)(a-c)^2+(1/2)(b-c)^2
=(1/2)[2a^2-2ab+2b^2-2ac+2c^2-2bc]=a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc
所以分子bc-c^2+ac-a^2+ab-b^2<0
又因为分母(a-b)(b-c)(c-a)<0
所以分子/分母>0

Answer 2

设x=a-b,y=b-c
原式=1/x+1/y-1/(x+y)
=[(x+y)^2-xy]/[xy(x+y)]
=(x^2+y^2+xy)/[xy(x+y)]
因为x^2>=0;y^2>=0;xy>0;x+y>0
所以原式>0

Answer 3

这个结论有点弱，可以证明一个更强的结论：1/(a-b)+1/(b-c)>=4/(a-c) 。
令 x=a-b ，y=b-c ，则 x+y=a-c ，
显然 x、y 均为正数，因此由均值不等式得
1/x+1/y=1/(a-c)*(x+y)(1/x+1/y)=1/(a-c)*(1+1+x/y+y/x)>=1/(a-c)*(1+1+2)=4/(a-c) ，
即 1/(a-b)+1/(b-c)>=4/(a-c) 。

本题结论可以更简单地证明如下：由于 a-c>a-b>0 ，
因此 1/(a-c)<1/(a-b) ，所以 1/(a-b)+1/(c-a)>0 ，
而 1/(b-c)>0 ，
所以 1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0 。