Question

一阶线性微分方程的通解公式 (x-2)*dy/dx=y+2*(x-2)^3,求y的通解

解：∵(x-2)*dy/dx=y+2*(x-2)³ ==>(x-2)dy=[y+2*(x-2)³]dx ==>(x-2)dy-ydx=2*(x-2)³dx ==>[(x-2)dy-ydx]/(x-2)²=2*(x-2)dx ==>d[y/(x-2)]=d[(x-2)²] ==>y/(x-2)=(x-2)²+C (C是积分常数) ==>y=(x-2)³+C(x-2) ∴原方程的通解是y=(x-2)³+C(x-2) (C是积分常数)。

不明白这里

怎么从上面的式子得到下面的？

Answer 1

(x-2)dy-ydx=(x-2)dy-yd(x-2)
联想一下，对于一个除式做微分的时候，d(f(x)/g(x))=(gdf-fdg)/(g^2)
这里的形式是类似的，因此凑这样一个形式：
[(x-2)dy-yd(x-2)]/(x-2)^2 [类比一下f(x)=y,g(x)=x-2 ]
=d[y/(x-2)]

右边的式子是d[(x-2)^2]的逆运算

Answer 2

这就是微分(或导数)公式反着用而已：
因为d[y/(x-2)]=[(x-2)dy-ydx]/(x-2)²；
d[(x-2)²]=2*(x-2)dx；
所以[(x-2)dy-ydx]/(x-2)²=2*(x-2)dx
==>d[y/(x-2)]=d[(x-2)²]

此题也可按一阶线性非齐次微分方程的常数变易法来做，应该比这种方法更容易。