Question

高中数学：已知抛物线x^2=4y的焦点为F,经过F的直线与抛物线相交于A、B两点

则以AB为直径的圆在x轴上所截得的弦长的最小值是_________

Answer 1

x^2=4y焦点为(0,1),
经过(0,1)点的直线记作 为x=0 或者 y=k*x+1,当x=0于抛物线只有一个相交点(0,0)，所以不予考虑
即AB可以表示为y=kx+1
与抛物线焦点即kx+1=x^2 /4,
x^2-4k*x-4=0,
则圆心为x(0)=[x(1)+x(2)]/2=4k/2=2k,
y(0)=k*x(0)+1=2*k*k+1,即圆心为(2k,2*k*k+1)
直径为((y1-y2)^2+(x1-x2)^2)^0.5
其中(x1-x2)^2=(x1+x2)^2 - 4*x1*x2=16k*k+16
(y1-y2)^2=[k(x1-x2)]^2=k*k*((x1-x2)^2)=k*k*(16k*k+16)
即直径为[(k^2+1)*(16*k^2+16)]^0.5=4*(k^2+1)
半径为2*(k^2+1)
则对于与x相交的两点来说即y=0，设定为(x,0)满足到圆心距离为半径
即(x-2k)^2+(2*k^2+1)^2=4*(k^2+1)^2
化简得x^2-4*k*x-3=0
弦长度即绝对值(x1-x2)=((x1+x2)^2-4*x1*x2)^0.5=(16*k^2+12)^0.5
显然最小值就是k=0时，长度为12^0.5 (根号12)

Answer 2

设直线y=kx+1,联立解得x2-4kx-4=0,x1+x2=2k,故又可求得y1+y2=2k2+2,所以圆心坐标为（k，k+1）。又可求得半径。最后转化为勾股定理半径的平方-圆心到x轴的距离的平方=二分之一x轴截距的平方。

Answer 3

解：可以画一个图，就可以知道，其实当直线过F且与x轴平行时，为min，所以以求出r=2，所以 园为x^2+(y-1)^2=4,令y=0，可以得出x=根号3，所以mind=2根号3
解答完毕

Answer 4

看错了 等于2倍根号3