Question

幂级数的逐项求导和逐项积分

求：通俗点儿解释下幂级数的逐项求导和逐项积分啊，老师讲的听不懂，自己看书看不懂~~

Answer 1

就是幂级数的和函数的积分，就等于它的展开式，也就是该幂级数的各项(无穷多项)的积分之和；
幂级数的和函数的导数，就等于它的展开式，也就是该幂级数的各项(无穷多项)的导数之和；

以有穷多项为例，来说明：
若f(x)=x^2+3x
则f'(x)=(x^2)'+(3x)'，只不过幂级数的逐项是无穷多项而已。

积分类似。

Answer 2

如：∑（n从1到正无穷）（-1)^(n-1) * (2x)^(2n-1) / (2n-1)
∑（n从1到正无穷）n *（n＋2）X＾2n
①∑（n从1到正无穷）（-1)^(n-1) * (2x)^(2n-1) / (2n-1)
=∑（n从1到正无穷）（-1)^(n-1) ∫(2x)^(2n-2) dx（积分区间为0到x，下同）
=∑（n从1到正无穷）（-1)^(n-1)∫(4x²)^(n-1)dx
=∑（n从1到正无穷）∫（-4x²)^(n-1)dx
=∫[∑（n从1到正无穷）（-4x²)^(n-1)]dx
=∫[1/(1+4x²)]dx
=arctan2x
②∑（n从1到正无穷）n *（n＋2）X＾2n
=1/2∑（n从1到正无穷）2n(n+2)x^2n
=(1/2)x∑（n从1到正无穷）(n+2)2nx^(2n-1)
=(1/2)x∑（n从1到正无穷）(n+2)[x^(2n)]′
=(1/2)x[∑（n从1到正无穷）(n+2)x^(2n)]′
∑（n从1到正无穷）(n+2)x^(2n)
=1/(2x³)∑（n从1到正无穷）(2n+4)x^(2n+3)
=1/(2x³)∑（n从1到正无穷）[x^(2n+4)]′
=1/(2x³)[∑（n从1到正无穷）x^(2n+4)]′
=1/(2x³)[x^6/(1-x²)]′
=x²(3-2x²)/(1-x²)²
原式=(1/2)x[∑（n从1到正无穷）(n+2)x^(2n)]′
=(1/2)x[x²(3-2x²)/(1-x²)²]′
=x²(3-x²) /(1-x)³