Question

P是抛物线C：y=x^2上一点，直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直，l与抛物线C相交于另一点Q，当点P在抛C

P是抛物线C：y=x^2上一点，直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直，l与抛物线C相交于另一点Q，当点P在抛C上移动时，求线段PQ的中点M的轨迹方程，并求点M到x轴的最短距离。

Answer 1

设P为(t，t^2)，P点切线的斜率k=y‘（t）=2x（t）=2t，直线l的斜率k’=-1/k=-1/2t，
直线l的方程为：y=-x/2t+(2t^2+1)/2，与抛物线C交于Q（-(2t^2+1)/2t，(2t^2+1)^2/4t^2），
xm=（xp+xq）/2=-1/4t，ym=（yp+yq）/2=(8t^4+4t^2+1)/8t^2，
消去参数t，得到M的轨迹方程为：y=2x^2+1/2+1/16x^2，
点M到x轴的最短距离为ym的最小值，ym=(t-1/2v2t)^2+(v2+1)/2>=(v2+1)/2，
即点M到x轴的最短距离为(v2+1)/2。

Answer 2

设M（X0，Y0），P（X1，Y1），Q（X2，Y2），L的直线方程为：Y=KX+b
Y'=2X，所以点P的切线的斜率为2X1，又直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直，
所以K=-1/（2X1）
P，Q两点代入y=x^2得：y1=x1^2、（1），y2=x2^2、（2）
（1）式+（2）式得：Y1+Y2=x1^2+x2^2=（x1+x2）^2-2x1*x2
所以2Y0=（x1+x2）^2-2x1*x2、（3）
又把Y=KX+b代入y=x^2得：x^2-KX-b=0，所以X1+X2=K=-1/（2X1），（4）
X1*X2=-b.
因为X1是方程x^2-KX-b=0的解，所以b=x1^2-KX1=x1^2-X1*[-1/（2X1）]=x1^2+1/2，
即X1*X2=-b.=-（x1^2+1/2）（5）
由（4）、（5）可知：2Y0=（x1+x2）^2-2x1*x2=1/4(x1^2)+2(x1^2)+1>=2根号（1/2）+1
即Y0>=根号（1/2）+1/2,当X1=正负2倍根号2时取等号。
所以Y0的最小值为（根号2）/2+1/2，即为点M到x轴的最短距离