Question

海伦-秦九韶求三角形面积公式的证明？

Answer 1

证明⑴
与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》）中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为

cosC = (a^2+b^2-c^2）/2ab

S=1/2*ab*sinC

=1/2*ab*√（1-cos^2 C)

=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2）^2/4a^2*b^2]

=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2）^2]

=1/4*√[（2ab+a^2+b^2-c^2）（2ab-a^2-b^2+c^2）]

=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]

=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]

设p=(a+b+c)/2

则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,

上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]

=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

Answer 2

参考http://baike.baidu.com/view/1279.htm 方法很多的

追问

S△ABC
=1/2 aha

=1/2 ab×sinC

= r p

= 2R^2sinAsinBsinC

= √[p(p-a)(p-b)(p-c)] 能解释一下=1/2 ab×sinC
= r p 吗？

追答

设圆O内切于三角形ABC 连接OA OB OC 则三角形ABC的面积=（三角形OAB+三角形OAC+三角形OBC）的面积 由内切圆的性质 设圆O于三角形ABC的AB BC CA边上的切点分别为D E F 则有OD垂直AB OE垂直BC OF垂直CA 切OD=OE=OF=r
所以三角形ABC的面积=1/2(AB*r+BC*r+CA*r）=rp