Question

如图,已知⊙O的弦AB垂直于直径CD,垂足为F,点E在AB上,且EA = EC.

如图，已知⊙O的弦AB垂直于直径CD，垂足为F，点E在AB上，且EA = EC。
⑴求证：AC^2= AE·AB；
⑵延长EC到点P，连结PB，若PB = PE，试判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由。
⑶在⑵的条件下,若⊙O的半径为5,CF=2,求PB的长.

Answer 1

1、连接BC，则：∠EAC=∠ECA=∠BAC=∠BCA

所以：△ABC∽△ACE

所以：AB/AC=AC/AE

所以：AC²=AB*AE

2、连接BC，BO则：∠ABC=∠BAC

而∠PEB=∠EAC+∠ECA=2∠EAC

所以：∠PBE=∠PBC+∠CBA=∠PEB=2∠EAC

即：∠PBC+∠CBA=2∠EAC

而：∠CBA=∠EAC

所以；∠PBC=∠EAC

即：∠PBC=∠BAC

而：OB是圆的半径，

所以：PB是圆的切线。即PB与圆O相切

3、因为：OC=5，CF=2

所以：OF=3

由勾股定理求得：BF=4

。。。

追问

然后PB呢?

追答

延长DC，BP交于M点。则△BMO是直角三角形
所以：BF²=MF*FO
即：MF=16/3
所以：MC=(16/3)=2=10/3
由元的切线定理求得：∠MBC=∠CAB=∠CBA
即：CB平分∠CBF
所以：BM/BF=MC/CF
所以：求得BM=[(10/3)*4]/2=20/3
由∠MBF=∠CEF知：∠M=∠FCE=∠PCM
所以：△PMC是等腰三角形，有PM=PC
连接PA，则△OAB也是等腰三角形，
而：∠BOC=2∠CAB，
所以：∠BOC=∠CEB，即∠BOF=∠CEF
所以：∠FCE=∠OBF
即：∠M=∠OBA
所以：△PMC∽△OBA
所以：BO/PM=AB/MC
即：5/PM=8/(10/3)
求得PM=25/12
所以：PB=(20/3)-(25/12)=55/12

Answer 2

(1)链接BC 由直径CD垂直AB 可知CD垂直平分AB 所以∠ACB=∠CBA 由EA=EC 有∠CAB=∠ACE
所以∠ACE=∠ABC 所以三角形ACE相似于三角形ABC 所以AC/AB=AE/AC 所以AC^2=AE*AB
(2)连接BO并延长交圆O于G 可知∠AOG=2∠ABO ∠AOG+∠AOB=2∠ABO +2∠BOC=180度 所以 ∠ABO +∠BOC=90度 易知∠BOC=∠AOC=2∠ABC=2∠CAE 由PE=PB 所以∠PBE=∠PEB=∠ECA+∠EAC=2∠CAE=∠AOC =∠BOC 所以∠ABO+∠PBE=∠PBO=90度
所以OB垂直PB 即PB是圆的切线
（3）过点P作PM垂直AB交AB于M cos∠PBC=BM/BP=BE/2BP=cos∠BOC=OF/OB=3/5
BF=4 AC=BC=2根号5 AE=AC^2/AB=20/8=5/2 所以BE=11/2 所以BP=55/12

Answer 3

AC^2=AF^2+CF^2
=(AE+EF)^2+(CE^2-EF^2)
=AE^2+EF^2+2AE*EF+CE^2-EF^2
AE=EC 所以 =2AE^2+2AE*EF
=2AE(AE+EF)
=2AE*AF=AE*AB