Question

如图，抛物线y= (1/2)x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．

⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；
⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．

Answer 1

(1)
x = -1, y = 1/2 - b - 2 = 0， b = -3/2
y = x²/2 - 3x/2 - 2 = (1/2)(x + 1)(x - 4)
对称轴x = (-1 + 4)/2 = 3/2
D(3/2, -25/8)

(2)
直角三角形。
AB² = (-1-4)² = 25
AC² = 1² + 2² = 5, BC² = 2² + 4² = 20
AB为斜边，AB² = AC² +BC²

(3)
按照光的途径最短，则∠AMC=∠BMD时，从C出发的光线在M反射后过D。
令对称轴与x轴的交点为D', △COM与△DD‘M相似：
CO/OM = DD'/MD'
2/m = (25/8)/(3/2 - m)
解得m = 24/41