Question

在△ABC中，a³+b³-c³=c²﹙a+b-c﹚，求证：:∠C=60°

a³+b³=c²(a+b)
(a+b)(a²-ab+b²)=c²(a+b)
我知道会变成这样，但不明白a³+b³之后变成怎么(a+b)(a²-ab+b²)
把(a+b)抽出来，之后不是(a+b)(a²+b²)?

Answer 1

a³＋b³=(a＋b)(a²－ab＋b²)：这是立方和公式。

Answer 2

(1)立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
推导：
（a+b)³
=(a+b)(a+b)²
=(a+b)(a²+2ab+b²)
=a³+2a²b+ab²+a²b+2ab²+b³
=（a³+b³)+3ab(a+b)
=>a³+b³
=(a+b)(a²+2ab+b²)-3ab(a+b)
=(a+b)(a²+2ab+b²-3ab)
=(a+b)(a²-ab+b²)

(2)
a³+b³=c²(a+b)
(a+b)(a²-ab+b²)=c²(a+b) ,
∵ (a+b≠0)
∴a²-ab+b²=c²
即:a²+b²-c²=ab
由余弦定理得：cosC=（a²+b²-c²）/2ab=ab/2ab=1/2
=>
∠C=60°

Answer 3

(a+b)(a²-ab+b²)=a³-a²b+ab²+a²b-ab²+b³=a³+b³
(a+b)(a²+b²)=a³+ab²+a²b+b³