已知函数f(x)=x²+2x+3/x,x∈【2,+∞)
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(1)设2<a<b,
f(a)-f(b)
=(a²+2a+3)/a-(b²+2b+3)/b
=﹙ba²+2ba+3b-ab²-2ab-3a)/ab
=[ab(a-b)-3(a-b)]/ab
∵a<b,∴分子小于0,分母大于0,值小于0,
∴f(x)在x∈[2,+∞)上是增函数。
由函数f(x)是单调增加,即在x=2取得最小值:
f(2)min=(2²+2×2+3)/2=11/2.
f(a)-f(b)
=(a²+2a+3)/a-(b²+2b+3)/b
=﹙ba²+2ba+3b-ab²-2ab-3a)/ab
=[ab(a-b)-3(a-b)]/ab
∵a<b,∴分子小于0,分母大于0,值小于0,
∴f(x)在x∈[2,+∞)上是增函数。
由函数f(x)是单调增加,即在x=2取得最小值:
f(2)min=(2²+2×2+3)/2=11/2.
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非常抱歉,各位,题目应是(x²+2x+3)/x
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我就是按有括号做的。
网易云信
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f(x)=(x²+2x+3)/x=x+3/x+2
f'(x)=1-3/x^2=(x^2-3)/x^2>0 所以函数是增函数
f(x)=x+3/x+2 由1)得函数是增函数
则f(x)>=f(1)=6
所以函数的最小值是6
f'(x)=1-3/x^2=(x^2-3)/x^2>0 所以函数是增函数
f(x)=x+3/x+2 由1)得函数是增函数
则f(x)>=f(1)=6
所以函数的最小值是6
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非常抱歉,各位,题目应是(x²+2x+3)/x
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我就是按这做的!
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f(x)=x^2+2x+3/x
=x^2+x+x+3/x
由于x∈【2,+∞)
所以x^2+x=(x+1/2)^2-1/4是增函数
令g(x)=x+3/x
令x1>x2
则g(x1)-g(x2)=(x1-x2)-(3/x1-3/x2)=(x1-x2)(3+x1x2)/(x1x2)>0
所以x+3/x也是增函数
所以f(x)函数为增函数
所以f(x)最小值=f(2)=4+4+3/2=19/2
=x^2+x+x+3/x
由于x∈【2,+∞)
所以x^2+x=(x+1/2)^2-1/4是增函数
令g(x)=x+3/x
令x1>x2
则g(x1)-g(x2)=(x1-x2)-(3/x1-3/x2)=(x1-x2)(3+x1x2)/(x1x2)>0
所以x+3/x也是增函数
所以f(x)函数为增函数
所以f(x)最小值=f(2)=4+4+3/2=19/2
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