Question

高数中求极限的问题，请教。

在上式求极限的时候，为什么不可以先把括号中分子当作一个等比数列先求出和再求极限呢？最好讲清楚为什么，谢谢。

Answer 1

令u=(e^x+e^2x+...+e^nx)/n
则y=[(e^x+e^2x+...+e^nx)/n]^(1/x)=u^(1/x)
则lny=vlnu=1/x*lnu
limy=lime^(lny)=e^(limlny)=e^[lim(1/x*lnu)]
而lnu=ln[(e^x+e^2x+...+e^nx)/n]
当x->0时，有u->1, lnu->0
∴可对极限用洛必达法则，即有
limy=e^[lim(1/x*lnu)]=e^[lim(u'/u)]
=e^[(e^x+2e^2x+...+ne^nx)/(e^x+e^2x+...+e^nx)]
=e^[(1+2+...+n)/n]
=e^[(n+1)/2]

PS: 先求等比数列的和，应该也可以
这样 s=(e^x+e^2x+...+e^nx)/n
=[e^x*(1-e^nx)/(1-e^x)]/n
只是这个极限是比上面那个还更复杂，恐怕不易求
至少我还不知道怎么求

Answer 2

因为如果拆开的时候的公比q=e^x，当x趋近去0时，此时等比趋近于1。此时的等比数列公式就不再满足，故不能使用此方法。这个题的答案是e吧，指数趋近于1，幂趋近于无穷。故为e.
而且你等比公式就求不出来啊

Answer 3

Answer 4

Answer 5

用等比公式求出上面的和，再用（1+1/x）^x->e这个公式即可