Question

三重积分推椭球体积，求解

Answer 1

如图：

椭球：

一种二次曲面，是椭圆在三维空间的推广。椭球在xyz-笛卡儿坐标系中的方程是:x^2 / a^2+y^2 / b^2+z^2 / c^2=1。

公式：

椭圆体的表面积S=2*π*cd*dx的0到a的积分的2倍 =4/3ab*π

椭圆体的体积V= 4/3πabc (a与b,c分别代表各轴的一半)

三重积分：

设三元函数f(x,y,z)在区域Ω上具有一阶连续偏导数，将Ω任意分割为n个小区域，每个小区域的直径记为ri(i=1，2,3.....n)，体积记为Δδi，记||T||=max{ri}，在每个小区域内取点f(ξi，ηi，ζi)，作和式Σf(ξi，ηi，ζi)Δδi，若该和式当||T||→0时的极限存在且唯一(即与Ω的分割和点的选取无关)，则称该极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f(x,y,z)dV，其中dV=dxdydz。

Answer 2

x^2/a^2+y^2/b^2=1的面积为：πab，

题中把1-z^2/c^2除到等号左边去

化为：x^2/（a^2*1-z^2/c^2）+y^2/（b^2*1-z^2/c^2）=1

所以面积为：π*根号下（（a^2*1-z^2/c^2）（b^2*1-z^2/c^2））=pi*a*b*(1-z^2/c^2)

直角坐标系法

适用于被积区域Ω不含圆形的区域，且要注意积分表达式的转换和积分上下限的表示方法

⑴先一后二法投影法，先计算竖直方向上的一竖条积分，再计算底面的积分。

①区域条件：对积分区域Ω无限制；

②函数条件：对f（x,y,z）无限制。

⑵先二后一法（截面法）：先计算底面积分，再计算竖直方向上的积分。

Answer 3

这不书上例题吗？？？

追问

教材不一样……你能把它拍给我吗？

追答

同济版高等数学下册例题，已毕业，这个是刚找的

Answer 4