Question

如图oc平分角aob,点d是射线oa边上一点.点pq分别在射线ocob

Answer 1

1）10
2）作E关于AC的对称点G.
∵ABCD是菱形,∴G在AD上.
显然有：GF＝EF,∴EF＋BF＝GF＋BF.
自然,当G、F、B共线时,有：EF＋BF＝BG.
∴当G、F、B共线且BG最小时,（EF＋BF）有最小值,∴G满足：BG⊥AD.
∵∠GAB＝60°,又BG⊥AG,∴BG＝（√3/2）AB＝4√3.
∴（EF＋BF）的最小值为4√3.
3）
作∠EAC＝∠BAC,使B、E在AC的两侧且AE交CD于E.
过B作BF⊥AE交AE于F,则由第一个问题的结论,得：（MN＋BN）的最小值＝BF.
设CE＝x.
∵ABCD是矩形,∴EC∥AB,∴∠ECA＝∠BAC,又∠EAC＝BAC,∴∠ECA＝∠EAC,
∴AE＝CE＝x.
∵ABCD是矩形,∴DC＝AB＝8,∴DE＝DC－CE＝8－x.
∵ABCD是矩形,∴AD⊥DE,∴由勾股定理,有：AD^2＋DE^2＝AE^2,
∴4^2＋（8－x）^2＝x^2,∴16＋64－16x＋x^2＝x^2,∴16x＝16＋64,∴x＝1＋4＝5.
∴AE＝5.
∵DE∥AB,∴∠DEA＝∠BAF,又∠ADE＝∠BFA＝90°,∴△ADE∽△BFA,
∴AD/BF＝AE/AB,∴BF＝AD×AB/AE＝4×8/5＝32/5.
∴（MN＋BN）的最小值为32/5.