Question

求这个变上限定积分的极值

Answer 1

函数的定义域 x>0
f'(x)=x^2lnx
令f'(x)=0
x=1
f''(x)=2xlnx+x
f''(1)=1>0
故 x=1时f(x)取极小值，极小值为f(1)=(1/3)[t^3lnt-(1/3)t^3](1/2,1)=[(ln2)/24]-(7/72)

追问

把X=1带入题目变成
求定积分对不对？用分布积分？

追答

对

Answer 2

∫t²lntdt=1/3t³lnt-∫1/3t³×1/tdt=1/3t³lnt-1/3∫t²dt=1/3t³lnt-1/9t³+c
∴f(x)=1/3x³lnx-1/9x³+1/24ln2+1/72
f′(x)=0的极值时x值，再讨论极大极小