四棱椎P-ABCD的底面为矩形,PA垂直底面ABCD,PA=AD,M为AB的中点,求证平面PMC垂

四棱椎P-ABCD的底面为矩形,PA垂直底面ABCD,PA=AD,M为AB的中点,求证平面PMC垂直平面PCD... 四棱椎P-ABCD的底面为矩形,PA垂直底面ABCD,PA=AD,M为AB的中点,求证平面PMC垂直平面PCD 展开
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sh5215125
高粉答主

2015-06-12 · 说的都是干货,快来关注
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证明:

取PC、CD的中点E、F,连接EM,EF,FM。

则EF是△PCD的中位线,

∴EF//PD,

∵PA⊥平面ABCD,

∴PA⊥CD,

∵四边形ABCD是矩形,

∴AD⊥CD,

∴CD⊥平面PAD,

∴CD⊥PD,

∴CD⊥EF,

∵四边形AMFD是矩形,

∴CD⊥MF,

∴CD⊥平面EFM,

∴CD⊥EM

∵PA=AD=BC,AM=BM,∠PAM=∠CBM=90°,

∴△PAM≌△CBM(SAS),

∴PM=CM,

∴EM⊥PC(三线合一),

∵CD和PC属于平面PCD,

∴EM⊥平面PCD,

∵EM∈平面PMC,

∴平面PMC⊥平面PCD。

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