Question

已知关于x的方程|x|/（x+3）=kx^3,有三个不同的实数解，则实数k的取值范围？

已知关于x的方程|x|/（x+3）=kx^3,有三个不同的实数解，则实数k的取值范围？

Answer 1

x=0时，显然成立即其中有一解必为x=0
设另外两解为x1，x2 易知k不为0设f(x)=0 (x=0)
f(x)=x/(x+3) (x>0) 值域：0<f(x)<1
f(x)=-x/(x+3) (-3<x<0) 值域：f(x)>0
f(x)=-x/(x+3) (-∞<x<-3) 值域：f(x)<-1 令f'(x)为f(x)的导数，则
f'(x)=3/(x+3)^2 (x>0)
f'(x)=-3/(x+3)^2 (-3<x<0)
f'(x)=-3/(x+3)^2 (-∞<x<-3) 所以f(x)在(0,+∞)单调增，在(-3,0)单调减，在(-∞,-3)单调减 根据f(x)的“增减性”和“值域”还有“当x=0时f(x)=0”可画出f(x)的简图 由简图可以判断k>0，若要有3解，则必有其中一解x1>0，另一解x2<-3 设g(x)=kx^3 (x属于R) 当x>0时，g(x)增得比f(x)快，很容易能看出必有一解x1 当x=-3时，g(-3)等于一负数，f(x)无限趋向于-∞
有g(-3)>f(-3)，实际上f(-3)不存在根据增减性可知
当x趋向于-∞时，g(x)趋向于-∞，f(x)趋向于-1
有g(-∞)<f(-∞)， 根据g(-3)>f(-3)和g(-∞)<f(-∞)还有g(x)和f(x)的增减性可知当x<-3时必有一解x2 综上所述，k>0

Answer 2

x≠0时，k=1/[|x|*x*(x+3)]
一、如果k>0，则x>0或x<-3.
① x>0时，k=1/[x*x*(x+3)]，k是关于x在(0,+∞)上的递减函数，且值域为(0,+∞),所以k>0时，原方程在(0,+∞)有且只有一解。
②x<-3时，k=-1/[x*x*(x+3)]，k是关于x在(-∞,-3)上的递增函数，值域为(0,+∞)，所以k>0时，原方程在(-∞,-3)上也有且只有一解。

二、如果k<0，则-3<x<0，k=-1/[x*x*(x+3)]＝-1/[(-x)*(-x)*(x+3)]<=-1/4(均值不等式，x=-2时取等)
k=-1/[x*x*(x+3)]在(-3,-2)上递增，在(-2,0)上递减（更严格的证明要用求导的办法），且峰值为-1/4，在x→-3及x→0时k→-∞。
所以k<-1/4，则在(-3,-2)内有一解，(-2,0)内有一解。

三、k=0，明显不合题意。

综上，可知：k>0或k<-1/4
（k>0时，两个解分别在(0,+∞)和(-∞,-3)内；k<-1/4时，两个解分别在(-3,-2)和(-2,0)内）