Question

求圆(x-5)^2+y^2=16,绕y轴旋转一周生成的旋转体体积。

Answer 1

(2πx)2(16-(x-5)^2)^0.5dx在1到9的定积分，因为2πx为半径为x的圆的周长即为长，2(16-(x-5)^2)^0.5为高，dx为宽，然后三角换元，令x=5+4sint,带入得32π（5+4sint)(cos2t+1)dt在-π/2到π/2的定积分，解得为160π。图像不是弯曲的圆柱体，因为外面那条线和里面那条线长度并不相等，则能用微元法积分求得

Answer 2

答：
x=5±√(16-y^2)
且关于x轴对称，所以V
=2π∫0到4 [(5+√(16-y^2))^2-(5-√(16-y^2))^2] dy
=2π∫0到4 20√(16-y^2) dy
=40π∫0到4 √(16-y^2) dy
令y=4sint,则t积分区域为0到π/2
则40π∫√(16-y^2) dy
=40π*16∫(cost)^2 dt
=40π*16(t/2+sin2t/4)|0到π/2
=160π^2

追问

它如何表示左半圆，如何表示右半圆，又如何表示上半圆，下半圆，总感觉有一样的表达式。表达左半圆时，x有两个y值相对应，这个不是函数的定义冲突么？函数是一对一或者多对一的，我就是这个搞不明白，不知道说清楚了没有。

Answer 3

追问

那它绕X轴旋转的体积是是多少？

它如何表示左半圆，如何表示右半圆，又如何表示上半圆，下半圆，总感觉有一样的表达式。表达左半圆时，x有两个y值相对应，这个不是函数的定义冲突么？函数是一对一或者多对一的，我就是这个搞不明白，不知道说清楚了没有。

追答