Question

求数学高手解答！！！！！

在△A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinA^2+sinC^2-sinAsinC=sinB^2 角B=π/3 (60°）
（1）求2cosA^2-cos(A-C)的取值范围
可以说一下具体解题思虑吗？

Answer 1

【参考答案】

根据sin²A+sin²C-sinAsinC=sin²B
可得 B=π/3，A+C=2π/3
则：
2cos²A-cos(A-C)
=2×[(1+cos2A)/2]-cos(A-C)
=1+[cos2A-cos(A-C)]
=1+(-2)sin[(3A-C)/2]sin[(A+C)/2]
=1-2×sin(π/3)sin[(3A-C)/2]
=1-√3sin[(3A-C)/2]
∵A+C=2π/3
∴0<A<2π/3, 0<B<2π/3
∴-π/3<(3A-C)/2<π
∴-√3/2<sin[(3A-C)/3]≤1
∴1-√3≤1-√3sin[(3A-C)/2]<5/2
即2cos²A-cos(A-C)取值范围是[1-√3，5/2)

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Answer 2

sin²A+sin²C-sinAsinC=sin²B
a^2+c^2-b^2=ac
cosB=1/2
==> B=π/3
∴A+C=π-π/3=2π/3
∴C=2π/3-A,0<A<2π/3
∴2cos²A-cos(A-C)
=1+cos2A-cos[A-(2π/3-A)]
=1+cos2A-cos2Acos2π/3-sin2Asin2π/3
=3/2cos2A-√3/2sin2A+1
=√3(√3/2cos2A-1/2sin2A)+1
=√3cos(2A+π/6)+1
∵0<A<2π/3
∴π/6<2A+π/6<3π/2
∴-1≤cos(2A+π/6)<√3/2
∴-√3≤√3cos(2A+π/6)<3/2
∴1-√3≤√3cos(2A+π/6)+1<5/2
即2cos²A-cos(A-C)的取值范围是
[1-√3,5/2)

Answer 3

由正弦定理：sinA/a=sinB/b=sinC/c=2r 代入得a^2+c^2-b^2=ac,
即 b^2=a^2+c^2-ac, 又由余弦定理：b^2=a^2+c^2-2ac*cosB
比较两式，则 ac= 2ac*cosB，得cosB=1/2, ∠B=60°
A=180-(B+C)=180-60-C=120-C
A-C=120-2C
2cosA^2-cos(A-C)
=cos2A+1-cos(120-2C)
=cos(240-2C)-cos(120-2C)+1
=cos240cos2C+sin240sin2C-cos120cos2C-sin120sin2C+1
=-1/2cos2C-根号3/2sin2C+1/2cos2C-根号3/2sin2C+1
=-根号3sin2C+1
由于0<C<120,故0<2C<240
故有-根号3/2<sin2C<=1
故有范围是[1-根号3,5/2)

Answer 4

sinA^2, 是sin(A^2),还是（sin^2）A？

如果sinA^2=（sin^2）A
根据外接圆半径: 公式:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R (R就是外接圆半径)
和三角形余弦定理: b^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·cosB
可得: sinA^2+sinC^2-2sinAsinCcosB=sinB^2 (cosB=1/2, 角B=π/3 (60°）)

即条件sinA^2+sinC^2-sinAsinC=sinB^2和角B=π/3 (60°）说的是一回事,
不知道是不是题目故弄玄虚

Answer 5

因为:sinA^2+sinC^2-sinAsinC=sinB^2

所以,a^2+c^2-b^2=ac
又,余弦定理:a^2+c^2-b^2=2accosB
所以:cosB=1/2
所以;B=60
2CosA^2-Cos(A-C)
=2COSA^2-COS[A-(120-A)]
=2COSA^2-COS(2A-120)
=COS2A-COS(2A-120)+1
=-2SIN(2A-60)SIN60+1
=-根号3sin(2A-60)
A>0
C>0
所以:120-A>0
0<A<120
0<2A<240
-60<2A-60<180
所以:-根号3<2cosA^2-cos(A-C)<3/2