Question

积分上限函数求导中证明过程中的ζ范围是不是写错了,应该是闭区间吧?因为用到了积分中值定理啊?

Answer 1

没错，积分中值定理的中值可以是闭区间也可以是开区间，不过证明方法不一样，同济教材给的是闭区间，用最值+介值定理证明；开区间可由最值+零点定理证明

追问

能不能简要写下开区间的证明 啊?

追答

图片传不了，压缩了一下，手写的，你自己看吧！

Answer 2

是的，积分中值定理中的ζ是属于闭区间[a,b]的，
但是在这里用的是改进的积分中值定理，
ζ属于闭区间(a,b)即可，并没有错
你可以查一下相关的数学书上会讲到的

追问

你说的不会是用拉格朗日证明的那个推广的积分中值定理吧?如果是那个的话,在这里用不上的,因为那个定理得证明过程的条件已经用到我这里需要的结论了

追答

当然不是，你说的那个叫做推广的第二积分中值定理，
我说的这个叫做改进的积分中值定理，

即
f(x)在区间[a,b]连续，则存在ζ∈(a,b)，
使得
∫(上限b，下限a) f(x)dx= f(ζ) *(b-a)

自己去数学书上查一下，会找到这个定理的

追问

好吧,我书上还真没有你说的这个,我刚才百度了"改进的积分中值定理",只有我说的那个用拉格朗日证明的啊,不知道你说的是怎么证明的?

追答

你看看这个回答上说的
http://zhidao.baidu.com/question/518799794.html
相信我，我们的数学书上都说过直接写改进的积分中值定理就可以了，

都这样做题过的

追问

可是我还是不知道你说的改进的积分中值定理是怎么证明的

追答

这有什么好证明的呢？不用去证明的，你就记住结论就可以了，做题的时候直接写没事的