Question

已知函数f(x)=sin2x-2sin^2(π/2+x)

（1）求f(x)的最小正周期与值域
（2）三角形ABC中，∠BAC=θ,f(θ)=0,AB=√2,AC=3,求BC的长

Answer 1

f(x)=sin2x-2sin^2(π/2+x)=sin2x-2cos^2x=sin2x-( 1+cos2x)=sin2x-cos2x-1=√2sin(2x-π/4)-1
最小正周期T=2π/2=π 值域为[-√2-1,√2-1]
ABC中，∠BAC=θ,f(θ)=√2sin(2θ-π/4)-1=0
则√2sin(2θ-π/4)=1
,AB=√2,AC=3
∠BAC=3π/8
则由余弦定理得
cos^3π/8=(cos3π/4+1)/2=(√2+1)/4
BC^2=AB^2+AC^2-2ABACcosθ=2+9-2*√2*3*(√2+1)/4=11-3(√2+2)/2
可得BC

Answer 2

解：
（1)
f(x)=sin2x-2sin^2(π/2+x)
=sin2x-2cos^2x
=sin2x-cos2x-1
=根号2sin（2x-π/4)-1
所以T=2π/2=π
值域为
sin（2x-π/4)∈[-1,1]
根号2sin（2x-π/4)-1∈[-√2-1,√2-1]

值域：[-√2-1,√2-1]

(2)
∠BAC=θ∈（0，π）
,f(θ)=根号2sin（2θ-π/4)-1=0
sin（2θ-π/4)=根号2/2
θ=π/2或θ=π/4
当θ=π/2，△ABC为直角△
所以BC=√11

当θ=π/4,
利用余弦得：
BC²=AC²+AB²-2AB*ACcosπ/4
=9+2-6=5
所以BC=√5

Answer 3

1.f(x)=sin2x-2sin^2(π/2+x)=sin2x-2(cosx)^2
=sin2x-(2(cosx)^2-1)-1
=sin2x-cos2x-1 和差化积
=siny-cosy-1=√2(sin2x-45)-1

2.2x-45=45,x=45°
BC用余弦公式就能得出