Question

函数极限与无穷小的关系

Answer 1

你是想问什么呢？这个命题明显是正确的，虽然这个命题对我们计算极限值的时候，似乎用处不大，不过在理论推导中应该有用处的。
这里是直接根据极限的定义来做的。还可以根据极限的性质之一：和差的极限等于极限的和差来做。
根据极限的性质，如果f（x）和g（x）都有极限。那么lim（f（x）+g（x））=limf（x）+limg（x）
lim（f（x）-g（x））=limf（x）-limg（x）。根据这个性质，很容易就证明这个命题了。

必要性：如果lim（x→x0）f（x）=A，令a（x）=f（x）-A，则lim（x→x0）a（x）=lim（x→x0）（f（x）-A）=lim（x→x0）f（x）-lim（x→x0）A=A-A=0，所以a（x）是x→x0的无穷小。而f（x）=A+a（x）

充分性也是一样证明。如果f（x）=A+a（x），a（x）是x→x0的无穷小，则lim（x→x0）a（x）=0
所以lim（x→x0）f（x）=lim（x→x0）（A+a（x）=lim（x→x0）A+lim（x→x0）a（x）=A+0=A

所以证明完毕。

追问

嗯，就是应用的时候我搞不懂f（x）=A+a里面的f（x）指的是函数还是函数值。

追答

当然是函数啦，所以我的证明中，才把a写成a（x），表示a其实也是函数。

Answer 2

无穷小是接近于0,但是不等于0,
如果limf(x)=A,那么f(x)=A+a,其中lima=0
只有lima=0时,f(x)=A+a 才成立
反之如果f(x)=A+a,且lima=0,那么limf(x)=A
既然lima=0了,所以limf(x)=A
不是等于常数A+a,是无限趋近,就像.当N趋于无穷大的时候1/N就趋近于0,也就说无限接近,这个就是函数的极限问题!

Answer 3

存在某个函数f（x），当x→□，f（x）=A，此时有x→□时，α（x）→0,那么α（x）当x→□时，其为无穷小。所以无穷小与函数极限关系可以理解为当x→□时，函数f(x)=A+α(α为一个无穷小）。