求矩阵A=2 2 3 1 -1 0 -1 2 1 的逆矩阵
-1 1 0 1 0 0
-4 3 0 0 1 0
1 0 2 0 0 1
第1行交换第3行
1 0 2 0 0 1
-4 3 0 0 1 0
-1 1 0 1 0 0
第3行, 减去第1行×-1
1 0 2 0 0 1
-4 3 0 0 1 0
0 1 2 1 0 1
第2行, 减去第1行×-4
1 0 2 0 0 1
0 3 8 0 1 4
0 1 2 1 0 1
第2行交换第3行
1 0 2 0 0 1
0 1 2 1 0 1
0 3 8 0 1 4
第3行, 减去第2行×3
1 0 2 0 0 1
0 1 2 1 0 1
0 0 2 -3 1 1
第3行, 提取公因子2
1 0 2 0 0 1
0 1 2 1 0 1
0 0 1 -32 12 12
第1行,第2行, 加上第3行×-2,-2
1 0 0 3 -1 0
0 1 0 4 -1 0
0 0 1 -32 12 12
得到逆矩阵
3 -1 0
4 -1 0
-32 12 12
即用行变换把矩阵(A，E)化成(E，B)的形式，那么B就等于A的逆
在这里
(A，E)=
2 2 3 1 0 0
1 -1 0 0 1 0
-1 2 1 0 0 1 r1-2r2,r3+r2
～
0 4 3 1 -2 0
1 -1 0 0 1 0
0 1 1 0 1 1 r1-3r3,r2+r3,交换r1和r2
~
1 0 1 0 2 1
0 1 0 1 -5 -3
0 1 1 0 1 1 r3-r2
～
1 0 1 0 2 1
0 1 0 1 -5 -3
0 0 1 -1 6 4 r1-r3
~
1 0 0 1 -4 -3
0 1 0 1 -5 -3
0 0 1 -1 6 4
这样就已经通过初等行变换把(A,E)～(E,A^-1)
于是得到了原矩阵的逆矩阵就是
1 -4 -3
1 -5 -3
-1 6 4
2 2 3 1 0 0
1 -1 0 0 1 0
-1 2 1 0 0 1
作行初等变换（#是主元）
0 4 3 1 -2 0 这行－第2行×2
1# -1 0 0 1 0 *主行不变
0 1 1 0 1 1 这行＋第2行
————
0 0 -1 1 -6 -4 这行－第3行×4
1 0 1 0 2 1 这行＋第3行
0 1# 1 0 1 1 *主行不变
————
0 0 -1# 1 -6 -4 *主行不变
1 0 0 1 -4 -3 这行＋第1行
0 1 0 1 -5 -3 这行＋第1行
得逆矩阵
1 -4 -3
1 -5 -3
-1 6 4
.
把单位矩阵添加在右边
0 3 -2 1 0 0
-2 0 3 0 1 0
1 -2 0 0 0 1
作行初等变换（#是主元）
0 3 -2 1 0 0 这行不变
0 -4 3 0 1 2 这行＋第3行×2
1# -2 0 0 0 1 *主行不变
————
0 3 -2# 1 0 0 *主行不变
0 1/2 0 3/2 1 2 这行＋第1行×3/2
1 -2 0 0 0 1 这行不变
————
0 0 -2 -8 -6 -12 这行－第2行×6
0 1/2# 0 3/2 1 2 *主行不变
1 0 0 6 4 9 这行＋第2行×4
得逆矩阵
6 4 9
3 2 4
4 3 6
[ 0 3 -2 1 0 0]
[-2 0 3 0 1 0]
[ 1 -2 0 0 0 1]
初等行变换为
[ 1 -2 0 0 0 1]
[ 0 3 -2 1 0 0]
[ 0 -4 3 0 1 2]
第 3 行加到第 2 行，初等行变换为
[ 1 -2 0 0 0 1]
[ 0 -1 1 1 1 2]
[ 0 -4 3 0 1 2]
初等行变换为
[ 1 0 -2 -2 -2 -3]
[ 0 1 -1 -1 -1 -2]
[ 0 0 -1 -4 -3 -6]
初等行变换为
[ 1 0 0 6 4 9]
[ 0 1 0 3 2 4]
[ 0 0 1 4 3 6]
A^(-1) =
[6 4 9]
[3 2 4]
[4 3 6]
